有限数学示例

${(1 + 2 i)}^{3}$

解题步骤 1

帕斯卡三角形可以显示为：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

通过取指数 $n$ 并和 $1$ 相加，该三角形可用于计算 ${(a + b)}^{n}$ 的展开系数。这些系数将对应三角形的直线 $n + 1$ 。因为 ${(1 + 2 i)}^{3}$ , $n = 3$ ，所以展开系数将对应直线 $4$ 。

解题步骤 2

展开式符合这个规则 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 。从三角形可以得出它的系数值为 $1 - 3 - 3 - 1$ 。

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

解题步骤 3

将 $a$ $1$ 和 $b$ $2 i$ 的实际值代入表达式。

$1 {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

通过指数相加将 $1$ 乘以 ${(1)}^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

将 $1$ 乘以 ${(1)}^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1.1

对 $1$ 进行 $1$ 次方运算。

$1^{1} {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1^{1 + 3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.1.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$1^{4} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.2

化简 $1^{4} {(2 i)}^{0}$ 。

$1^{4} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.3

一的任意次幂都为一。

$1 + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.4

一的任意次幂都为一。

$1 + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$1 + 3 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.6

化简。

$1 + 3 (2 i) + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$1 + 6 i + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.8

计算指数。

$1 + 6 i + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.9

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$1 + 6 i + 3 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.10

对 $2 i$ 运用乘积法则。

$1 + 6 i + 3 (2^{2} i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.11

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 6 i + 3 (4 i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.12

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 6 i + 3 (4 \cdot - 1) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.13

乘以 $3 (4 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 4.1.13.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 6 i + 3 \cdot - 4 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.13.2

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$1 + 6 i - 12 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.14

通过指数相加将 $1$ 乘以 ${(1)}^{0}$ 。

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解题步骤 4.1.14.1

将 $1$ 乘以 ${(1)}^{0}$ 。

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解题步骤 4.1.14.1.1

对 $1$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.14.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + 6 i - 12 + 1^{1 + 0} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.14.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.15

化简 $1^{1} {(2 i)}^{3}$ 。

$1 + 6 i - 12 + {(2 i)}^{3}$

解题步骤 4.1.16

对 $2 i$ 运用乘积法则。

$1 + 6 i - 12 + 2^{3} i^{3}$

解题步骤 4.1.17

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 + 6 i - 12 + 8 i^{3}$

解题步骤 4.1.18

因式分解出 $i^{2}$ 。

$1 + 6 i - 12 + 8 (i^{2} \cdot i)$

解题步骤 4.1.19

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1 + 6 i - 12 + 8 (- 1 \cdot i)$

解题步骤 4.1.20

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$1 + 6 i - 12 + 8 (- i)$

解题步骤 4.1.21

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$1 + 6 i - 12 - 8 i$

解题步骤 4.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.2.1

从 $1$ 中减去 $12$ 。

$- 11 + 6 i - 8 i$

解题步骤 4.2.2

从 $6 i$ 中减去 $8 i$ 。

$- 11 - 2 i$

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